在之前的《 数量关系易错点合集( 一 ) 》一文中，给大家总结过工程问题、经济利润问题、几何问题这三个数量关系模块中的易错点。今天我为大家总结了排列组合中平均分组问题和最值问题中一些易错点，希望能起到抛砖引玉的效果，最终的目的是希望大家在日常做题的时候，能及时总结规律，最大可能地规避容易犯的错，少走弯路，提高解题的正确性。

一、 平均分组问题中， 分辨不清 何时该 除以 对应组数的全排列

【例 1 】 某班共有 8 名战士，现在从中挑出 4 人平均分成两个战斗小组分别参加射击和格斗考核，问共有多少种不同的方案?

A. 210 B. 420

C. 630 D. 840

【 答案 】 B 。华图解析：这是一道排列组合中关于平均分组的问题。根据题干要求，平均分成两个战斗小组的 4 个人，是从 8 人中选出的，所以先进行选人， 8 选 4 ，与顺序无关，所以是 。接着从选出的 4 人中，再选出两人放在射击小组，是 ，最后从剩余两人中选两人加入格斗小组， 很显然，如果表示出来就是 (不写也可以，因为只剩下两人了，只有这唯一的一种选法，压根不需要选，这两个人直接就到格斗小组去了) 。以上几个做法属于分步，故使用乘法，所以最终不同的方案是 =420(种)。 所以，本题选择 B 选项。本道题中， 小组各不相同，则无需最后除去之前步骤中的排序的数量。

【例 2 】 某班共有 8 名战士，现在从中挑出 4 人平均分成两个战斗小组 ， 问共有多少种不同的方案?

A. 210 B. 420

C. 630 D. 840

【 答案 】 A 。华图解析：本题也属于排列组合中平均分组的问题，但和例 1 中不同的是，挑出来的 4 人，分成的两个战斗小组没有区别，既没有分出 1 组和 2 组，也没说分出 射击组和 格斗组 等其他两个不同的组。这样一来，我们再按照例 1 中的做法恐怕就有问题了吧。具体我们来分析。首先仍是从 8 人中选 4 人，是 。为了让大家理解得更清晰和透彻，这里我们假设从 8 人中选出 4 人的其中一次选出的是甲、乙、丙、丁四个人，接着我们从选出的甲、乙、丙、丁中选两人放在其中一组，是 ，假定这时选出的两人是甲、乙两人，那么另外丙、丁两人自然就分在另外一组了，所以我们写成 。聪明的你，发现这里面的问题了没?我们不妨再假设一次，这次我们假设从甲、乙、丙、丁四个人中先选出的两个人不是甲、乙两人，而是丙、丁两人，那么剩余甲、乙两人自然就到另外一组去了。由于两个组，并没有任何区别，而我们若还像例 1 中写成 ，就是默认这两个组是有区别的了，所以本题我们再这样做肯定是有问题的。 是考虑到了两组的排序的，相当于里面多乘了两个元素的排序，即 ，故最终方案数需要在基础上除掉两个元素的排序，即 =210(种) 。 因此，本题选择 A 选项。 本题中两个战斗小组没有任何差别，则需要在之前的步骤中除去 重复 的排序数量。

二、 最不利构造问题中容易忘记在最不利情况 数之后 再加一

【例 3 】 从一副完整的扑克牌中至少抽出多少张牌，才能保证至少有 5 张牌的花色相同?

A. 17 B. 18

C. 19 D. 20

【答案】 C 。华图解析： 我们都知道， 最不利构造类题目的答案 是 “所有不利情况+ 1 ”。 经常有考生在求出所有最不利情况后，忘记加最后的 1 ，导致前功尽弃，而通过观察最不利构造类的题目选项，也不难发现，往往都至少有两个选项是相差 1 的，这也是命题老师命题的策略，既然有人会忘记 加 1 ，那就给你这个答案，让你能选到这个“错误”的答案。我们来看看这道题如何去做，通过题目知道， 一副扑克有 4 种花色，要保证抽出的牌中有 5 张牌花色相同， 那最 不利情况 就 是每种花色均抽到 4 张，再加两张大小王，共 4 × 4 + 2 = 18 (张)。 那么要保证至少有 5 张牌的花色相同 的话 ，还需要在这个最不利的情况上加 1 ，所以就是 18 + 1 = 19 (张)牌。因此，选择 C 选项 。 ( 若忘记加 1 ，就会错选 B 选项 )

我们再来 看一道 类似的题：

【例 4 】 某单位五个处室分别有职工 5 、 8 、 18 、 21 和 22 人，现有一项工作要从该单位随机抽调若干人，问至少要抽调多少人，才能保证抽调的人中一定有两个处室的人数和超过 15 人?

A. 34 B. 35

C. 36 D. 37

【答案】 B 。华图解析： 由“至少”“保证”可知本题为最不利构造问题，答案为最不利情况数+ 1 。要保证抽调的人中一定有两个处室的人数和超过 15 人，最不利情况为 5 个人、 8 个人的处室全部抽调，其余 3 个科室各抽调 7 人。 则依照题目意思，最 不利 的情况是 抽调 5 + 8 + 7 + 7 + 7 = 3 4 (人)。 而抽调 3 4 人是运气最差的情况， 在此基础上， 再抽调 1 人，就能同时满足题目中“至少”和“保证”了，所以最后的答案是 3 4 + 1 = 35( 人 ) ， 因此，选择 B 选项。

三、 数列构造问题中，容易忽略每个对象分得的各不相同还是可以相同

【例 5 】 现有 21 本故事书要分给 5 个人阅读，如果每个人得到的数量均不相同，那么得到故事 书数量 最多的人至少可以得到( )本。

A. 5 B. 7

C. 9 D. 11

【答案】 B 。华图解析： 在总数一定的条件下，要使得到故事 书数量 最多的人本数最少，那么其他人得到的要尽可能多。设得到故事 书数量 最多的人可以得到 x 本， 题目中强调了， 每个人得到的数量均不相同，则其 他 4 个 人得到的故事书 的 数量 分别为 ( x - 1 )、( x - 2 )、( x - 3 )、( x - 4 )本。根据题意可 列方程为 x +( x - 1 )+( x - 2 )+( x - 3 )+( x - 4 )= 21 ，解得 x = 6.2 本 。 则 最多的人至少可以得到 7 本。因此， 本题 选择 B 选项。 若将本题当成了 每个人分得的数量都相同，则会错选成 A 选项。 在本道题中，很明显，题目中强调了每个人 得 到的数量是各不相同的，这样的情况不太容易被忽略，但是我们如果解答习惯了这样要求数量各不相同的题目，便会由于惯性，即使遇到了有些题目中没有说明各不相同的，也按照这种方法去解答，那样就错了，下面的例 6 就是这样的情况。

【例 6 】 有 100 人参加五项活动，参加人数最多的活动的人数不超过参加人数最少活动人数的两倍， 问参加 人数最少的活动最少有多少人参加?

A.10 B.11

C.12 D.13

E.14 F.15

G.16 H.17

【答案】 C 。华图解析： 设人数 最少的 项目有 x 人参加， 因为题目中没有强调参加五项活动的人数各不相同，说明是可以相同的，为了使参加人数最少的有尽可能少的人参加，那么除参加人数最少的项目，其余四项应该人数均为 2x 人。所以 五项活动的人数 一共 为 9x = 100 ，解得 x ≈ 11.1 ，即 参加人数最少的活动， 最少有 12 人参加。因此，选择 C 选项。